Oriģinālā versija no šis stāsts parādījās Kvantu žurnālsApvidū
Visvienkāršākās idejas matemātikā var būt arī mulsinošākās.
Ņemt papildinājumu. Tā ir vienkārša operācija: viena no pirmajām matemātiskajām patiesībām, ko mēs uzzinām, ir tā, ka 1 plus 1 ir vienāds ar 2. Wager matemātiķiem joprojām ir daudz neatbildētu jautājumu par modeļu veidiem, kurus var radīt papildinājums. “Šī ir viena no visvienkāršākajām lietām, ko varat darīt,” sacīja Bendžamins BedersOksfordas universitātes absolvents. “Kaut kā tas joprojām ir ļoti noslēpumains daudzos veidos.”
Pārbaudot šo noslēpumu, matemātiķi arī cer izprast papildinājuma spēka robežas. Kopš 20. gadsimta sākuma viņi ir pētījuši “bez summas” komplektu raksturu-skaitļu, kurās komplektā nav divus skaitļus, pievienos trešdaļai. Piemēram, pievienojiet visus divus nepāra skaitļus, un jūs iegūsit vienmērīgu numuru. Tāpēc nepāra skaitļu kopums ir bez summas.
1965. gada rakstā ražīgais matemātiķis Pols Erds uzdeva vienkāršu jautājumu par to, cik bieži sastopamas kopas. Wager gadu desmitiem problēmas progress bija niecīgs.
“Tā ir ļoti pamatīga lieta, par kuru mums bija šokējoši maz izpratnes,” sacīja Džūlians SahasrabudheKembridžas universitātes matemātiķis.
Līdz šī gada februārim. Sešdesmit gadus pēc tam, kad Erdős izvirzīja savu problēmu, Bederts to atrisināja. Viņš parādīja, ka jebkurā komplektā, kas sastāv no veseliem skaitļiem – pozitīvajiem un negatīvajiem skaitļiem – ir liela skaitļu apakškopa, kurai jābūt bez summasApvidū Viņa pierādījums nonāk matemātikas dziļumā, veidojot paņēmienus no atšķirīgiem laukiem, lai atklātu slēptu struktūru ne tikai bez summas, wager arī visādos citos iestatījumos.
“Tas ir fantastisks sasniegums,” sacīja Sahasrabudhe.
Iestrēdzis vidū
Erdős zināja, ka jebkurā veselu skaitļu komplektā jābūt mazāka, bez summas apakškopa. Apsveriet komplektu {1, 2, 3}, kas nav bez summas. Tajā ir piecas dažādas bez summas, piemēram, {1} un {2, 3}.
Erdős vēlējās uzzināt, cik tālu šī parādība paplašinās. Ja jums ir komplekts ar miljonu veselu skaitļu, cik liela ir tā lielākā bez summas apakškopa?
Daudzos gadījumos tas ir milzīgs. Ja nejauši izvēlaties miljonu veselu skaitļu, apmēram puse no tiem būs nepāra, nodrošinot jums bez summas ar apmēram 500 000 elementu.
Savā 1965. gada rakstā Erdős parādīja – pierādījumā, kas bija tikai dažas rindas garums, un citi matemātiķi to slavēja kā izcili, ka jebkurš kopums N veseli skaitļi ir vismaz bez summas apakškopa N/3 elementi.
Tomēr viņš nebija apmierināts. Viņa pierādījums tika apskatīts vidējos rādītājus: viņš atrada bez summas kopu kolekciju un aprēķināja, ka to vidējais lielums ir N/3. Wager šādā kolekcijā lielākās apakšgrupas parasti tiek uzskatītas par daudz lielākām nekā vidēji.
Erdős vēlējās izmērīt šo īpaši lielo apakšgrupu lielumu.
Matemātiķi drīz izvirzīja hipotēzi, ka, tā kā jūsu komplekts kļūs lielāks, lielākās apakšgrupas būs daudz lielākas nekā N/3. Faktiski novirze pieaugs bezgalīgi lielā. Šī prognoze-ka lielākā bez summas lielums ir N/3 plus dažas novirzes, kas aug līdz bezgalībai ar N— Tagad ir pazīstams kā bez summas komplektu minējumi.
